Niejednorodne, nieliniowe materiały transwersalnie izotropowe i ich implementacja MES

W klasie anizotropowych relacji konstytutywnych materiałów nieliniowo-sprężystych teorii małych odkształceń (TMO), bardzo ważnym typem ich symetrii względem transformacji ortogonalnych jest transwersalna izotropia (TRI), por. [3,6] i literaturę tam cytowaną. Spośród pięciu podgrup symetrii transwersalnej izotropii, teoretycznie możliwych w zagadnieniach kontinuum materialnego, relacje nieliniowe sprężystości TMO „wyróżniają” tylko dwie [6], które w kwadratowej aproksymacji funkcji jednostkowej energii sprężystości, sprowadzają się do tego samego typu symetrii zewnętrznych tensorów Hooke’a [4,6]. Zwykle mówimy wtedy, że mamy pięć niezależnych stałych sprężystości w związku Hooke’a. Ten rodzaj anizotropii materiału mamy np. w kompozytach o izotropowej matrycy zbrojonej jedną rodziną równoległych włókien i kryształach układu heksagonalnego. W aplikacjach liniowej teorii sprężystości od lat 50. ubiegłego wieku, np. w mechanice skał i gruntów oraz w mechanice kompozytów, często występują zagadnienia brzegowe z uwzględnieniem tzw. „niejednorodności ciągłych” analizowanego ciała  . Tego typu niejednorodność w ciele „z materiałem TRI” występuje wtedy gdy ulega zmianie kierunek wyróżniony lub funkcyjnie zmienia się np. wartość modułów Younga. Należy zaznaczyć, że podstawowe, lokalne równania TMO (czyli teorii nie uwzględniającej zmian konfiguracji zdeformowanego ciała), tzn. równania równowagi, związki kinematyczne i relacje konstytutywne (RK) są zdefiniowane dla każdej cząstki ciała x. Wobec tego RK muszą być niezmiennicze względem transformacji ortogonalnych, co wynika z zasady obiektywności. Konsekwencją tego jest konieczność uwzględnienia w RK tzw. tensorów struktury rozpatrywanego materiału i jego niejednorodności. Zadanie (np. statyki) nieliniowej sprężystości jest poprawnie sformułowane jeżeli równania lokalne są uzupełnione odpowiednimi warunkami brzegowymi. W celu rozwiązania zadań nieliniowej sprężystości TMO najczęściej stosuje się metodę elementów skończonych (MES) i tzw. przyrostowe relacje konstytutywne. Celem pracy jest wyprowadzenie tego typu związków w przypadku niejednorodnych, nieliniowych materiałów TRI oraz ich implementacja 74 w programie MES ABAQUS [1,2]. Pokazane zostaną także proste przykłady testowe ilustrujące omawiane zagadnienia.