The structure of the optimal control in the problems of strength optimization of steel girders

The paper concerns a strength optimization of continuous beams with variable cross-section. The continuous beams are subjected to a dead weight and a useful load, the six (seven) combinations of loads were analyzed. Optimal design problems in structural mechanics can by mathematically formulated as optimal control tasks. To solve the above formulated optimization problems, the minimum principle was applied. The paper is an introductory and survey paper of the treatment of realistically modelled optimal control problems from application in the structural mechanics. Especially those problems are considered, which include different types of constraints. The optimization problem is reduced to the solution of multipoint boundary value problems (MPBVP) composed of differential equations. Dimension of MPBVP is usually a large number, what produces numerical difficulties. Optimal control theory does not give much information about the control structure. The correctness of the assumed control structure can be checked after obtaining the solution of the boundary problem.

Praca dotyczy optymalizacji wytrzymałościowej dźwigarów ciągłych trój-, cztero- i pięcioprzęsłowych o zmiennym dwuteowym przekroju poprzecznym. Dźwigary obciążone są ciężarem własnym i kombinacją obciążeń użytkowych (sześć lub siedem kombinacji). Deformacja dźwigara opisana jest przez układ równań różniczkowych z warunkami początkowymi i brzegowymi, ponadto do spełnienia pozostają wewnętrzne warunki brzegowe i warunki nieciągłości w pośrednich punktach podparcia. Rozważane są ograniczenia geometryczne, ograniczenia naprężeń i przemieszczeń. Jako funkcję celu wybrano objętość stali. Problemy optymalnego kształtowania formułowane są jako zadania teorii sterowania. Do rozwiązania zadań zaproponowano zasadę minimum. Problem optymalizacji redukuje się do rozwiązania wielopunktowego problemu brzegowego (WPPB) dla układu równań różniczkowych. Wymiar WPPB jest zwykle duży, co wymaga pokonania trudności numerycznych. Teoria sterowania nie dostarcza bowiem informacji o strukturze optymalnego rozwiązania dla której problem jest zbieżny. W pracy struktura sterowania opisuje kolejność występowania przedziałów i punktów z aktywnymi ograniczeniami. Poprawne przyjęcie tej struktury w rozwiązanych problemach jest zasadniczym osiągnięciem pracy. Uzyskane i prezentowane na wykresach wybrane zmienne stanu, zmienne sprzężone, zmienne decyzyjne, funkcje Hamiltona potwierdzają spełnienie warunków koniecznych optymalizacji.