Controllability of a time-discrete dynamical system with the aid of the solution of an approximation problem

The paper is concerned with time-discrete dynamical systems, whose dynamics is described by a system of vector difference equations involving state and control vector functions. It is assumed that that the uncontrolled system (in which the control vectors are put to zero) admits steady states. The aim is to reach such a steady state by a suitable choice of control functions within finitely many time-steps starting with an initial state at time zero. We first give sufficient conditions for the solvability of this problem of controllability. Then, we develop a stepwise game-theoretical method for its solution. In the cooperative case this method can be combined with the solution of a suitable approximation problem and thereby lead to a solution of the problem of controllability within the smallest number of time steps, if the problem is solvable. Finally, we present a stepwise non-cooperative game theoretical solution.

Artykuł dotyczy układów dynamicznych dyskretnych w czasie, których dynamika jest opisywana przy pomocy wektorowych równań różnicowych z wektorowymi funkcjami stanu i sterowania. Zakłada się, że układ nie sterowany (w którym wektory sterowań są równe zeru) przyjmuje stany ustalone. Celem jest osiągnięcie takiego stanu ustalonego poprzez odpowiedni dobór funkcji sterowania w skończonej liczbie kroków w czasie, startując z pewnego stanu w momencie zerowym. Najpierw podano warunki wystarczające rozwiązywalności tego zadania sterowalności. Następnie, przedstawiono metodę iteracyjną opartą na teorii gier do znajdywania rozwiązania. W przypadku gry kooperacyjnej metoda ta może być połączona z rozwiązaniem odpowiedniego zadania aproksymacji i w ten sposób prowadzić do rozwiązania zagadnienia sterowalności w najmniejszej liczbie kroków w czasie, jeśli zadanie ma rozwiązanie. Na koniec przedstawiono sposób rozwiązania krokowego dla przypadku gry nie-kooperacyjnej.