Wpływ wyższych harmonicznych na nieliniowe drgania belek wykonanych z meteriału Kelvina-Voigta

W pracy analizuje się geometrycznie nieliniowe drgania ustalone belek wymuszone siłami harmonicznie zmiennymi w czasie. Belki wykonane są z materiału lepkosprężystego opisywanego za pomocą modelu Kelvina-Voigta. Do opisu geometrycznej nieliniowości deformacji zastosowano teorię von Karmana oraz teorię belek Eulera-Bernoulliego. Pominięto wpływ osiowych sił bezwładności oraz założono nieprzesuwność osiową końców belek. Sformułowano związki fizyczne wyrażone za pomocą sił przekrojowych i uogólnionych odkształceń. Równania ruchu oraz równania amplitud zapisano stosując metodę prac wirtualnych, metodę bilansu harmonicznych oraz metodę elementów skończonych. Nieliniowe równania amplitud rozwiązano metodą kontynuacji. W rozwiązaniach okresowych równań ruchu uwzględniono wyższe harmoniczne, co pozwala na analizę rezonansów pobocznych, ale znacząco skomplikowało sformułowanie i rozwiązanie problemu. Za pomocą krzywych rezonansowych przedstawiono dynamiczne zachowanie się belek wykonanych z materiału Kelvina – Voigta. Wyniki porównano z rozwiązaniami dla belek sprężystych. Przeanalizowano istotność wyższych harmonicznych w opisie drgań nieliniowych.

The problem of geometrically non-linear steady state vibrations of beams excited by harmonic forces is considered in this paper. The beams are made of a viscoelastic material defined by the classic Kelvin-Voigt rheological model. The von Karman theory and the Euler-Bernoulli theory are applied to describe the effects of geometric nonlinearities of beam deformations. The influence of axial inertial forces are neglected. The immovable ends of beam system are assumed. The physical relationships for internal forces and general deformations are defined. The equations of motion and amplitudes are derived using the virtual work method, the harmonic balance method and the finite element methodology. Non-linear amplitude equations are solved applying the continuation method. In the steady-state solution of equations of motion, the higher harmonics are taken into account what enables one to examine an secondary resonances but significantly complicates the formulation and solution of the problem. Using resonance curves the dynamic behaviour of beam systems made of the viscoelasticity Kelvin-Voigt material are presented. The results are compared with these ones for elastic beams. The significance of higher harmonics for the description of steady-state non-linear vibrations are briefly discussed.